ESTANDAR
Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales.
COMPONENTE
Numérico variacional
Geométrico métrico
INDICADOR DE DESEMPEÑO
Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos.
METODOLOGÍA/ SECUENCIA DIDÁCTICA
Unidad didáctica
Noción de derivada
Propósito
Interpretar geométrica y analíticamente el concepto de derivada.
Desarrollo cognitivo instruccional
Noción de derivada
Ideas previas: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto Q y tiene pendiente m.
Q (1,2); m =3 b. Q (-1,3); m =1/2 c. Q (-1,1); m=√2 d. Q (-2,-1); m=1
Un poco de historia: Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en Óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada. Simplificando, podemos destacar dos problemas principales:
• Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes).
• Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).
Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras que el concepto de integral tiene sus raíces en la antigüedad clásica, la otra idea fundamental del Cálculo, la derivada, no se formuló hasta el siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia, lo que inició el magnífico desarrollo del Cálculo. Si bien los trabajos de Newton y Leibniz son decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culminante de un largo proceso en el que han participado científicos de la talla de Johannes Kepler (1571 - 1630), René Descartes (1596 - 1650), Pierre de Fermat (1601 - 1665), John Wallis (1616 -1703) e Isaac Barrow (1630 - 1677) entre otros.
Concepto de derivada
Para entender los resultados del Cálculo diferencial es necesario, antes que nada, comprender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea” de cambio la cual analizaremos en próximas guías.
Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación cartesiana y = f(x) en el punto (a, f(a)). La estrategia (usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton) consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto (a, f(a)) con un punto cercano, (x, f(x)), de la gráfica de f. Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:
Dicho número suele llamarse cociente incremental de f en a.
Observa que una secante es una buena aproximación de la tangente, siempre que el punto (x, f(x)) esté próximo a (a, f(a)). Estas consideraciones llevan a definir la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite:
Claro está, que dicho límite exista.
Al punto “a” lo denominaremos como punto de referencia y al punto “a+h” punto auxiliar. Por lo cual al calcular el limite anterior, obtenemos la recta tangente a la grafica de la función en el punto (a,f(a)).
Una forma muy sutil de de representar la derivada de “f” en “a”, es representando f ′ (a) (notación debida a Lagrange). La notación de Lagrange tiene la gran ventaja de poner de manifiesto que al aplicar la operación de derivación a una función obtenemos una nueva función, que está definida en todos los puntos donde la función dada sea derivable.
Te recomiendo ver el video del siguiente link para que reflexiones sobre la noción de derivada; https://www.youtube.com/watch?v=ia8L26ub_pc
Desarrollo Metodológico
Aplique la definición de limite y determine la derivada de las siguientes funciones
F(x)=4x-11
F(x)=-17x+34
F(x)= -5x2 +8
F(x)= 3
F(x)= 2x+3
Halle la pendiente de la recta tangente a las siguientes curvas en el punto x=1
Y= 8-5x2
Y= 4x+1
Y= 2x+3
Halla la ecuación de la recta tangente de cada función F en el punto (a,F(a)).
F(x)=4x+9 ; con a=-8
F(x)= x2 – 5; con a=3
F(x)= 3; con a=10
Calcule la derivada de la función F(x)=x2 en el punto de referencia a=1.
Los costos para la producción de x número de artículos está dado por C(x)=200+0.001x2.
Halla los costos para producir 20 artículos.
Halla los costos para producir 21 artículos.
Halla el costo de producir el artículo 21.
Halla la derivada de c(x) en el punto de referencia x=20. Compara con el valor obtenido en C.
El numero de barriles de petróleo que se venden cuando el precio es p (dólares) está dado por N=f(p). Escribe el significado de:
F (90)=1500 b. F’(90)=0.1
Evaluación
Los costos para la producción de x número de artículos está dado por C(x)=120+0.03x2. Al hallar los costos para producir 10 artículos es
C(10)=150
C(10)=220.03
C(10)=3
C(10)=123
Los costos para la producción de x número de artículos está dado por C(x)=120+0.03x2. Al hallar los costos para producir 30 artículos es
C(30)=1.8
C(30)= 147
C(30)=0.9
C(30)=1021.8
Los costos para la producción de x número de artículos está dado por C(x)=120+0.03x2. El costo de producir el artículo 30 es
1.8
147
0.9
1021.8
La derivada C(x)=120+0.03x2 en el punto de referencia x=10 es
C´(10)=12O.6
C´(10)=123
C´(10)=O.6
C´(10)=10
La pendiente de la recta tangente a la curva y= 5X2 -7x+11; en el punto x= 1es
.m= 1
.m=17
.m= -17
.m=3
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